El álgebra de Boole es un sistema matemático que se basa en un conjunto de propiedades, postulados y teoremas que permiten manipular expresiones lógicas. A continuación, se destacan algunas de las propiedades más importantes, junto con su forma dual, que implica el cambio de las operaciones de producto por suma y de suma por producto.
La forma dual de una expresión es una expresión matemática equivalente en la que se intercambian las operaciones lógicas de suma (+) y producto (⋅). Estas propiedades pueden ser verificadas mediante el uso de tablas de verdad, que muestran los posibles valores de las variables y sus resultados.
Propiedades y teoremas
| Ley | Forma básica | Forma dual |
|---|---|---|
| Conmutativa | a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a | a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a |
| Asociativa | a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+ca + (b + c) = (a + b) + c = a + b + ca+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c | a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c=a⋅b⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot ca⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c=a⋅b⋅c |
| Distributiva | a+(b⋅c)=(a+b)⋅(a+c)a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)a+(b⋅c)=(a+b)⋅(a+c) | a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c) |
| Elemento neutro | a+0=aa + 0 = aa+0=a | a⋅1=aa \cdot 1 = aa⋅1=a |
| De absorción | a+(a⋅b)=aa + (a \cdot b) = aa+(a⋅b)=a | a⋅(a+b)=aa \cdot (a + b) = aa⋅(a+b)=a |
| Teorema de De Morgan | ¬(a⋅b)=¬a+¬b\neg (a \cdot b) = \neg a + \neg b¬(a⋅b)=¬a+¬b | ¬(a+b)=¬a⋅¬b\neg (a + b) = \neg a \cdot \neg b¬(a+b)=¬a⋅¬b |
| Teorema de transposición | ¬(¬a)=a\neg (\neg a) = a¬(¬a)=a | ¬(¬a)=a\neg (\neg a) = a¬(¬a)=a |
| Otras leyes | Varían según el teorema específico | Varían según el teorema específico |
Explicación de las leyes
- Conmutativa: La suma (OR) y el producto (AND) de dos elementos no dependen del orden. Es decir, el orden en que se operan no afecta al resultado.
- Asociativa: La agrupación de los términos no afecta el resultado de la operación. Esto significa que no importa cómo se agrupan las operaciones de suma o producto.
- Distributiva: La suma distribuye sobre el producto y viceversa. Esto permite simplificar expresiones lógicas complejas.
- Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro para la operación de suma, y el 1 lo es para la operación de producto.
- De absorción: Esta ley describe cómo una operación lógica puede ser absorbida por una variable. Por ejemplo, a+(a⋅b)=aa + (a \cdot b) = aa+(a⋅b)=a porque aaa «absorbe» la operación de producto con bbb.
- Teorema de De Morgan: Permite transformar expresiones lógicas complejas con negaciones. La negación de un producto se convierte en una suma de las negaciones, y viceversa.
- Teorema de transposición: La doble negación de una variable es igual a la variable original, es decir, la doble negación no cambia el valor de la variable.
Estas propiedades y teoremas son esenciales para simplificar y analizar circuitos lógicos y son fundamentales en la lógica computacional.
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