Trabajo, Energía y Potencia de Cuerpos en Rotación

Trabajo en Rotación

El trabajo realizado en rotación se determina a partir del ángulo girado y del momento de la fuerza que provoca la rotación. La fórmula para calcular el trabajo en rotación es:W=F⋅s=F⋅r⋅ΔφW = F \cdot s = F \cdot r \cdot \Delta \varphiW=F⋅s=F⋅r⋅Δφ

Donde:

• FFF es la magnitud de la fuerza.
• rrr es el radio en el que actúa la fuerza.
• Δφ\Delta \varphiΔφ es el ángulo girado, medido en radianes.

Si definimos el momento de la fuerza como M=F⋅rM = F \cdot rM=F⋅r, podemos obtener la siguiente ecuación para el trabajo:W=M⋅Δφ[J]W = M \cdot \Delta \varphi \quad [J]W=M⋅Δφ[J]

Aquí, MMM es el momento de la fuerza en Newton·metro (N·m) y Δφ\Delta \varphiΔφ es el ángulo girado en radianes.

---

Energía Cinética en Rotación

La energía cinética de un cuerpo en rotación se deduce de la expresión de la energía cinética en general. Para un elemento del cuerpo con masa mim_imi​, la energía cinética será:Eci=12mi⋅vi2E_{c_i} = \frac{1}{2} m_i \cdot v_i^2Eci​​=21​mi​⋅vi2​

Donde viv_ivi​ es la velocidad del elemento. La energía cinética total del cuerpo en rotación es la suma de las energías cinéticas de todos los elementos del cuerpo:Ec=∑12mi⋅vi2E_c = \sum \frac{1}{2} m_i \cdot v_i^2Ec​=∑21​mi​⋅vi2​

Si consideramos el momento de inercia (I) del cuerpo, que depende de la distribución de la masa del cuerpo con respecto al eje de rotación, la expresión de la energía cinética se convierte en:Ec=12I⋅ω2E_c = \frac{1}{2} I \cdot \omega^2Ec​=21​I⋅ω2

Donde:

• III es el momento de inercia del cuerpo, determinado por I=∑mi⋅ri2I = \sum m_i \cdot r_i^2I=∑mi​⋅ri2​, con rir_iri​ siendo la distancia de cada masa al eje de rotación.
• ω\omegaω es la velocidad angular en radianes por segundo.

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a la rotación. Para diferentes cuerpos, los momentos de inercia varían, y se pueden calcular utilizando fórmulas específicas para cada forma geométrica.

Trabajo en Rotación con Fuerzas No Conservativas

Al igual que en los cuerpos en translación, el trabajo realizado por fuerzas no conservativas sobre un cuerpo en rotación, que gira de una posición a otra, es igual a la variación de la energía cinética en rotación:W=ΔEc(ya que Ep=0)W = \Delta E_c \quad (\text{ya que } E_p = 0)W=ΔEc​(ya que Ep​=0)

Esto significa que el trabajo realizado por fuerzas no conservativas cambia la energía cinética de rotación del cuerpo, aumentando o disminuyendo su velocidad angular.

Momentos de Inercia de Diferentes Cuerpos

El momento de inercia (III) depende de la forma del cuerpo y de cómo está distribuida su masa con respecto al eje de rotación. Algunos ejemplos de momentos de inercia para cuerpos comunes son los siguientes:

Barra: I=13m⋅L2I = \frac{1}{3} m \cdot L^2I=31​m⋅L2

Placa circular: I=12m⋅R2I = \frac{1}{2} m \cdot R^2I=21​m⋅R2

Placa rectangular: I=112m⋅(L2+W2)I = \frac{1}{12} m \cdot (L^2 + W^2)I=121​m⋅(L2+W2)

Esfera: I=25m⋅R2I = \frac{2}{5} m \cdot R^2I=52​m⋅R2

Conclusión

Comprender el trabajo, la energía y la potencia en cuerpos en rotación es esencial en la dinámica de máquinas. Al igual que en los cuerpos en translación, la energía en rotación depende de la interacción de fuerzas y momentos, y las fuerzas no conservativas afectan el comportamiento dinámico del cuerpo. El momento de inercia es un concepto clave para entender cómo un cuerpo resiste la rotación, y las fórmulas para calcularlo dependen de la geometría y la distribución de la masa del cuerpo.